INFINAN.RU

ИНСТИТУТ ФИНАНСОВОГО АНАЛИЗА



 


           стр. 6 (из 37)           След. >>

Список литературы по разделу

 
 
 
  (2.8)
 
  Пример 2.7. Определить эффективную ставку сложных процентов с тем, чтобы получить такую же наращенную сумму, как и при использовании номинальной ставки j = 18%, при ежеквартальном начислении процентов (m = 4):
 
 
 
 
  Проверим этот расчет. Предположим, что выдан кредит в размере 400 тыс. руб. по ставке 19,25% годовых (сложные проценты) на срок два года. Наращенная сумма долга составит:
 
  S = 400 (1 + 0,1925) = 568,8 тыс. руб.
 
  Изменим условия примера. Кредит 400 тыс. руб. выдан на два года под 18% годовых с ежеквартальным начислением процентов. В этом случае
 
 
 
 
  Как видим, наращенные суммы оказались равны между собой, т.е. две ставки i и j эквивалентны в финансовом отношении.
 
  Для определения номинальной и эффективной ставок сложных процентов можно использовать формулы для вычисления наращенных сумм.
 
  Из выражения S = P (1+i) находим ставку i:
 
 
  тогда
 
 
 
  (2.9)
 
  Аналогично из выражения
 
 
  находим ставку j:
 
 
 
  (2.10)
 
  Срок ссуды при наращении по номинальной ставке процентов равен:
 
 
 
  (2.11)
 
  а при наращении m раз в году:
 
 
 (2.12)
 
 2.2. ВЫЧИСЛЕНИЕ НАРАЩЕННОЙ СУММЫ
 НА ОСНОВЕ СЛОЖНЫХ АНТИСИПАТИВНЫХ ПРОЦЕНТОВ
 
  Принцип начисления сложных антисипативных процентов аналогичен методу при использовании простых антисипативных процентов. Суть метода заключается в том, что если в первом периоде (n = 1) наращенная сумма определяется по формуле:
 
 
 
 
  то во втором периоде она будет равна:
 
 
 
 
  в третьем периоде:
 
 
 
 
  Таким образом, в общем виде формула наращенной суммы может быть записана в виде:
 
 
 
  (2.13)
 
  где - коэффициент наращения при вычислении сложных антисипативных процентов;
 
  d - учетная ставка сложных процентов;
 
  n - число лет.
 
  При наращении сложных процентов по учетной ставке несколько раз в году (m раз) наращенная сумма определяется по формуле:
 
 
 
  (2.14)
 
  где - номинальная учетная ставка;
 
  m - число периодов начисления процентов в течение года;
 
  n - число лет.
 
  Пример 2.8. Кредит в размере 800 тыс. руб. выдан на 2,5 года. По условиям договора начисление процентов производится по сложной учетной ставке d = 15% годовых. Определить наращенную сумму.
 
 
 
 
  Если бы по условиям примера наращение производилось по ставке сложных процентов (i), то наращенная сумма была бы равна:
 
  S = 800 (1 + 0,15) = 1134,6 тыс. руб.
 
  Пример 2.9. В условия предыдущего примера внесем изменение: наращение по учетной ставке производить не один, а два раза в год (m = 2). Наращенная сумма будет равна:
 
 
 
 
 
 2.3. ДИСКОНТИРОВАНИЕ ПО СЛОЖНОЙ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКЕ
 
  Математический метод дисконтирования может применяться с использованием не только простой, но и сложной процентной ставки.
 
  Для этого из выражения S = P (1 + i) найдем значение P:
 
 
 
  (2.15)
 
  где - дисконтный (учетный) множитель.
 
  Значения этого множителя табулированы (см. Приложение 3).
 
  При начислении процентов m раз в году получим:
 
 
  (2.16)
 
  где - дисконтный множитель.
 
  Используя Приложение 3, также можно найти значения множителя .
 
  Порядок действий:
 
  1) выбирается табличное значение множителя при условии, что i = ;
 
  2) величина n - число лет (периодов) заменяется величиной m n, т.е. общим числом периодов начисления процентов.
 
  Например, если определяется (1 +) для j = 20%, m = 4 и n = 3,
  то в Приложении 3 находится значение дисконтного множителя для
  и m n = 4 3 = 12, т.е. (1 + 0,05) = 0,5568.
 
  Напомним, что величину P, найденную дисконтированием величины S, называют современной, или приведенной, величиной.
 
  Как ранее указывалось, разность S - P = D' является дисконтом. Отсюда
 
 
 
  (2.17),
 
  или
 
 
 
  (2.18)
 
  Пример 2.10. Определить современную величину 20,0 тыс. руб., которые должны быть выплачены через 4 года. В течение этого периода на первоначальную сумму начислялись сложные проценты по ставке 8,0% годовых.
 
  P = 20 (1 + 0,08) = 20 0,7350 = 14,7 тыс. руб.
 
  Если же начисление процентов производилось ежеквартально, то современная величина будет равна:
 
 тыс. руб.
  Современная величина, являясь одной из основных характеристик, используемых в финансовом анализе, требует рассмотрения ее основных свойств. Одно из этих свойств заключается в том, что величина процентной ставки, по которой производится дисконтирование, и современная величина находятся в обратной зависимости. То есть чем выше процентная ставка, тем меньше современная величина при прочих равных условиях.
 
  Пример 2.11. Определить, какую сумму необходимо поместить на депозит, чтобы через три года владелец депозита получил 4,0 тыс. руб.
 
  Применяемые процентные ставки: а) 8% годовых; б) 12% годовых.
 
 
 
 
  В такой же обратной зависимости находятся современная величина и срок платежа. С увеличением срока платежа (n) современная величина будет становиться все меньше. Предел значений величины Р при сроке платежа n, стремящемся к бесконечности:
 
 
 
  При очень больших сроках платежа его современная величина будет крайне незначительной. Так, например, если кто-то решит завещать своим потомкам получить через 100 лет сумму в 50 млн руб., то для этого ему достаточно положить под 8% годовых (сложные проценты) 22,72 тыс. руб. С ростом величины m дисконтный множитель уменьшается, а следовательно, уменьшается и величина P.
 
  Величина P может быть определена (приведена) на любой момент времени, вплоть до момента выплаты суммы S. Чем больше это время, тем она больше по величине и тем меньше сумма дисконта.
 
  Пример 2.12. Инвестиционный фонд предоставил кредит строительной фирме в сумме 2,0 млн. руб. под 20% годовых (проценты сложные) на срок 4 года. Определить сумму, полученную фондом (дисконтированную величину) и сумму дисконта, если инвестиционный фонд учел свой кредитный контракт в банке также под 20% годовых до срока погашения долга за: а) три года; б) два года; в) полгода.
 
  а) млн руб.
 
  D' = 2,0 - 1,157 = 0,843 млн руб.;
 
  б) млн руб.
 
  D' = 2,0 - 1,389 = 0,611 млн руб.;
 
  в) млн руб.
 
  D' = 2,0 - 1,826 = 0,174 млн руб.
 
  Наращенная сумма на промежуточный момент времени t равна современной величине платежа на этот же момент времени: S = P.
 
  То есть если S = P (1 + i) и S = P (1 + i), то
 
 
  (2.19)
 
  Пример 2.13. Капитал в сумме 5,0 млн руб. предоставлен в кредит на 5 лет под 20% годовых (сложные проценты). Определить значение наращенной суммы и приведенной величины на конец 3-го года (t = 3).
 
  S = 5 (1 + 0,2) = 12,4416 млн руб.
 
  S = 5 (1 + 0,2) = 8,64 млн руб.
 
  P = 12,4416 (1 + 0,2) = 12,4416 (1 + 0,2) = 8,64 млн руб.
 
  Соотношения между дисконтными множителями, рассчитанными по простой и сложной ставке процентов, зависят от срока сделки. В случае равенства i = i:
 
  для срока менее года: (1 + n i)  
  для срока более года: (1 + n i) > (1 + i),
 
  где i и i - соответственно простые и сложные ставки.
 
 
 2.4. ДИСКОНТИРОВАНИЕ ПО СЛОЖНОЙ УЧЕТНОЙ СТАВКЕ
 
  В учетных (дисконтных) операциях широко применяется сложная учетная ставка.
 
  В этом случае дисконтирование осуществляется по формуле:
 
  = S (1 -d),
 (2.20)
 
  где d - сложная годовая учетная ставка.
 
  Дисконт вычисляется как разность:
 
 
 
  (2.21)
 
  Пример 2.14. Владелец долгового обязательства, равного 0,6 млн руб., со сроком погашения через 2 года сразу же после заключения этого контракта учел его в банке по сложной учетной ставке 9%.
 
  Определим сумму, полученную владельцем обязательства, и дисконт, полученный банком:
 
  = 0,6 (1 - 0,09)= 0,497 млн руб.
 
  D' = 0,6 - 0,497= 0,103 млн руб.
 
  Для сравнения рассчитаем по приведенным данным дисконтированную величину и дисконтную величину D' с использованием простой учетной ставки:
 
  = 0,6 (1 - 2 0,09) = 0,492 млн руб.
 
  D' = 0,6 - 0,492= 0,108 млн руб.
 
  Зная величины S, P, n, можно определить значение сложной учетной ставки (d).
 
  Из выражения следует, что
 
  откуда
 
  (2.22)
 
  Пример 2.15. Первоначальная сумма (P = 0,5 млн руб.), помещенная в банк на два года в конце срока выросла до 0,8 млн руб. Наращение производилось по сложной учетной ставке. Определить величину этой ставки.
 
 
 
 
  Различие в величине дисконтных множителей при использовании простой и сложной учетных ставок, равных по своей величине, зависит от срока ссуды.
 
  В табл. 2.2 рассчитаны дисконтные множители при условии равенства простой и сложной учетной ставок: i = i = 12%. Временная база при вычислении множителей была принята 360 дней.
 
 Таблица 2.2
 
 
 
 Дисконтные множители Сpок ссуды
  30 дней 90 дней 180 дней 270 дней 1 год 5 лет 10 лет (1 - nd) 0,99 0,97 0,94 0,91 0,88 0,4 - (1 - d) 0,9894 0,9685 0,9381 0,9086 0,88 0,5277 0,2785
  При дисконтировании m раз в году используется номинальная учетная ставка. Расчет дисконтированной величины производится по формуле:
 
 
  (2.23)
 
  где - номинальная учетная ставка;
 
  N - общее число периодов дисконтирования, N = m n.
 
  Пример 2.16. Долговое обязательство на сумму 0,6 млн руб. со сроком погашения через 2 года было передано в банк для учета. Дисконтирование производилось по ставке f = 9%, при m = 4 и N = 4 2 = 8.
 
  Определим величину дисконта:
 
  млн руб.
 
  При дисконтировании m раз в году вновь возникает понятие эффективной ставки, под которой будем понимать сложную годовую учетную ставку, эквивалентную номинальной учетной ставке при заданном значении m. Из приведенного определения эффективной ставки следует, что
 
 
  Отсюда
 
 
 
  и, следовательно, эффективная учетная ставка равна:
 
 
 
  (2.24)
 

           стр. 6 (из 37)           След. >>

Список литературы по разделу