Министерство внутренних дел Российской Федерации Уральский юридический институт С.В.
Мухачев, К.В.
Перетятькин, А.А. Трошкин Информатика и математика. Математика для юристов Учебное пособие Екатеринбург 2003 ББК 22.18 И741 И741 Мухачев С.В., Перетятькин К.В., Трошкин А.А.
Информатика и математика. Математика для юристов: Учеб. пособие. — Екатеринбург: Изд-во Уральского юридического института МВД России, 2003. — 76 с. Рецензенты: С.Г. Михайлов, кандидат физико-математических наук, ИЭФ УрО РАН; С.С. Головырин, кандидат технических наук, ОМЗ-МО.
Учебное пособие содержит теоретические сведения, примеры и задачи по избранным главам высшей математики.
Изложенный материал позволяет изучить и научиться применять математические методы для решения практических задач, относящихся к правоохранительной деятельности. Учебное пособие предназначено для курсантов, слушателей и преподавателей высших учебных заведений МВД РФ.
Оно может быть полезно студентам юридических ВУЗов. Обсуждено на заседании кафедры информатизации ОВД (протокол № 6 от 07.05.2002) Рекомендовано к изданию методическим советом УрЮИ МВД России (протокол № 5 от 21.05.2002) Рекомендовано к изданию редакционно-издательским советом (протокол № 4 от 23.05.2002). ББК 22.18 ? Мухачев С.В., Перетятькин К.В., Трошкин А.А., 2003 ? УрЮИ МВД России, 2003 ВВЕДЕНИЕ 4 1. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ. КОМБИНАТОРИКА 6 ПОНЯТИЕ, СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ И ВИДЫ МНОЖЕСТВ 6 ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ 7 НЕУПОРЯДОЧЕННЫЕ И УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА. КОМБИНАТОРИКА 10 Задачи по теории множеств и комбинаторике 14 2. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 17 ПРЕДМЕТ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. ПОНЯТИЕ ВЕРОЯТНОСТИ 17 ВЫЧИСЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ СЛОЖНЫХ СОБЫТИЙ 19 Задачи по теории вероятностей 24 3.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА 30 ПРЕДМЕТ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ 30 СТАТИСТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ И ЕГО ЭТАПЫ 30 КОЛИЧЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ ВАРИАЦИОННЫХ РЯДОВ 33 КОЛИЧЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ РЯДОВ ДИНАМИКИ 44 ТЕОРИЯ КОРРЕЛЯЦИИ. РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ 46 Задачи по математической статистике 51 4. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ 53 ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ И ОПТИМИЗАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ 53 ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ 54 Задачи линейного программирования 60 5.
ЭКСПЕРТНЫЕ СИСТЕМЫ 61 ВВЕДЕНИЕ В ЭКСПЕРТНЫЕ СИСТЕМЫ (ЭС) 61 СТРУКТУРА ЭКСПЕРТНЫХ СИСТЕМ 64 КЛАССИФИКАЦИЯ ЭКСПЕРТНЫХ СИСТЕМ 65 ТЕХНОЛОГИЯ ПРОЕКТИРОВАНИЯ И РАЗРАБОТКИ ЭКСПЕРТНОЙ СИСТЕМЫ 68 СТРУКТУРИЗАЦИЯ ЗНАНИЙ О ПРЕДМЕТНОЙ ОБЛАСТИ 69 Задачи по структуризации знаний 74 ЛИТЕРАТУРА 75 ВВЕДЕНИЕ Школьный курс охватывает, в основном, элементарную математику и включает арифметику, алгебру, геометрию, тригонометрию и др. Однако мир современной математики очень разнообразен и сложен. Имеется большое количество различных математических дисциплин и направлений. Некоторые разделы высшей математики — математический анализ, аналитическая геометрия и линейная алгебра, теория функций комплексной переменной и т.
д. изучаются в полном объеме в ВУЗах естественнонаучного и технического профиля. Часть этих разделов с успехом может применяться гуманитариями, в том числе и юристами, для решения своих профессиональных задач. Вспомним, что изучалось в школьном курсе элементарной математики. Наиболее древняя наука — арифметика. Это наука о числах.
Она изучает простейшие свойства чисел и правила вычислений. Алгебра занимается уравнениями и способами их решения.
Точнее, она изучает лишь уравнения определенного типа, называемые алгебраическими. Наиболее известное уравнение такого типа — квадратное: ах2 + bх+ с =0. Истоки алгебры восходят к глубокой древности. Уже около 4 000 лет назад вавилонские ученые знали квадратные уравнения и решали системы двух уравнений, одно из которых — второй степени. С помощью таких уравнений решались разнообразные задачи, возникавшие при измерении участков земли, в строительстве и военном деле.
Основоположником алгебры как науки принято считать среднеазиатского ученого Мухаммеда аль-Хорезми. Его математический труд, составленный в IХ в. н.э., называется »Книга восстановления и противопоставления».
Под »восстановлением» понимался перенос вычитаемого из одной части уравнения в другую, где оно становится слагаемым; под »противопоставлением» — собирание неизвестных в одну сторону уравнения, а известных — в другую. У аль-Хорезми алгебра применялась к купеческим и другим денежным расчетам. В ХII в.
труд аль-Хорезми был переведен на латинский язык и стал известен в Европе. С этого времени начинается развитие алгебры в европейских странах.
Геометрия изучает пространственные свойства предметов, оставляя в стороне все остальные их признаки. Первые геометрические понятия возникли в древности из потребности определять вместимость различных предметов (сосудов, амбаров и т.п.) и площади земельных участков (отсюда греческое название »геометрия» — землемерие).
Греческие ученые открыли множество геометрических свойств и создали стройную систему геометрических знаний. Эта система в начале III в. до н. э. получила завершенный вид в труде Евклида »Начала» (по содержанию примерно совпадает с нынешними школьными учебниками геометрии).
Основные геометрические понятия — точка, прямая, плоскость — принимаются без определения. Они поясняются примерами, наглядными образами. Остальные понятия (луч, отрезок, угол и т.д.) определяются на базе основных. Фундамент геометрии составляют аксиомы — положения, принимаемые без доказательств. Все остальные положения доказываются на основе аксиом и называются теоремами. Такой подход, свойственный всем отраслям математики, называется аксиоматическим. Примеры аксиом: через любые две точки проходит одна и только одна прямая; если две точки прямой принадлежат некоторой плоскости, то вся прямая содержится в этой плоскости; через любую точку, не лежащую на данной прямой, проходит одна и только одна прямая, параллельная данной. Выбор аксиом не является однозначным. Например, на основании последней аксиомы — аксиомы параллельности — можно доказать теорему о том, что сумма углов треугольника равна 180°. Вместе с тем эту теорему можно было бы принять в качестве аксиомы и доказать на ее основе положение о параллельности. Тригонометрия — раздел математики, в котором изучаются тригонометрические функции (функции угла — синус, косинус, тангенс, котангенс) и их приложение к геометрии.
С помощью тригонометрии решаются задачи вычисления неизвестных величин треугольника по заданным значениям других его величин. Так как любую вычислительную задачу геометрии можно свести к решению треугольников, то методы тригонометрии носят общий характер. Тригонометрические функции позволяют связать углы треугольника с его сторонами с помощью алгебраических соотношений. Большой вклад в развитие тригонометрии внесли греческие ученые. Современный вид тригонометрии придал русский академик Л. Эйлер (ХVIII в.). Назовем некоторые разделы высшей математики. Аналитическая геометрия дает единообразные приемы решения геометрических задач. Для этого используется координатный метод: точки описываются их координатами, а линии — уравнениями. Таким образом, геометрическая задача сводится к алгебраической, а для решения алгебраических задач имеются стандартные методы.
Создатели аналитической геометрии — французские ученые Р. Декарт и П. Ферма (ХVII в.). К систематическому изучению пространственных линий и плоскостей (в трех измерениях) координатный метод был применен впервые Л. Эйлером (ХVIII в.).
Математический анализ — это совокупность разделов математики, посвященных исследованию функций методами дифференциального и интегрального исчислений.
Математический анализ находит широкое применение при изучении количественных соотношений действительного мира, выражаемые переменными величинами. В арифметике и алгебре рассматриваются преимущественно постоянные величины (которые характеризуют состояния), в математическом же анализе — переменные (они характеризуют процессы). В основе изучения зависимости между переменными величинами — понятия функции и предела. Математический анализ в основном разработан на рубеже ХVII и XVIII вв.
И. Ньютоном (Англия) и Г. Лейбницем (Германия). Элементы теории множеств, теории вероятностей и математической статистики мы рассмотрим далее. 1. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ. КОМБИНАТОРИКА Понятие, способы задания и виды множеств Теория множеств — это раздел математики, изучающий общие свойства множеств.
Под множеством понимают совокупность каких-либо объектов, называемых элементами множества и обладающих общим для них характеристическим свойством.
Понятие »множество» является одним из первичных, неопределяемых понятий математики, так же как и понятия натурального числа, точки, прямой и т.д. Поэтому точного определения понятия »множество» дать нельзя, так как нет более общего понятия, чем »множество». Это понятие может быть пояснено только на примерах. Так, можно говорить о множестве студентов группы; людей, живущих в городе; планет Солнечной системы; букв русского алфавита. Элементами множества могут быть не только материальные объекты, но и абстрактные понятия. Например, множество натуральных чисел, множество точек на прямой, геометрических фигур и т.п. Различают множества конечные и бесконечные. Они содержат, соответственно, конечное или бесконечное число элементов. Бесконечным является, например, множество натуральных чисел. Ряд натуральных чисел бесконечен, поскольку для любого сколь угодно большого числа существует еще большее (его можно получить прибавлением единицы).
Бесконечным, конечно же, является множество всех геометрических фигур. Множество можно задать двумя способами: перечислив все его элементы либо указав характеристическое свойство его элементов. Легко задать перечислением конечное множество, содержащее небольшое количество элементов: студенты в группе; планеты Солнечной системы; лежащие на столе книги и т.п. Однако это сделать практически невозможно для множеств с большим количеством элементов и тем более для бесконечных множеств.
Поэтому в таких случаях указывают характеристическое свойство элементов — свойство, которым обладает каждый элемент, принадлежащий множеству, и не обладает ни один элемент, который ему не принадлежит. Например, мы можем задать множество двузначных чисел (45 — двузначное; 142 — не двузначное); множество четных чисел (делятся на 2); множество квадратов (прямоугольники с равными сторонами) или окружностей (совокупность точек, равноудаленных от центра). Отметим, что все множества, перечисленные в начале раздела, заданы именно таким способом.
Понятие »множество» не следует понимать буквально как совокупность, содержащую много элементов. В ней может содержаться один или два объекта. Оказывается, удобно считать множеством даже пустое множество, не содержащее ни одного элемента. Множества чаще всего обозначаются прописными буквами латинского алфавита А, В, С и т.д., а их элементы — соответствующими строчными буквами: а, b, с и т.д. Пустое множество обозначается специальным символом . Если множество А состоит из n элементов a1 , ,…, аn , то пишут А=a1, а2, … an. Говорят: »элемент а1 принадлежит множеству А» и записывают так: а1А . Запись аА означает, что элемент а не принадлежит множеству А (множество А не содержит элемент а).
Если характеристическое свойство элементов множества можно представить в символической форме, то используют соответствующую запись для задания множества. Например, множество А натуральных чисел, меньших семи, можно задать так: А = {х| хN и х