Эквивалентность номинальной ставки (j ) при начислении процентов m раз в году и эффективной ставки (i ) была рассмотрена в формуле (2.1). Эквивалентность сложной ставки процентов и сложной учетной ставки описывается выражениями: (3.17) (3.18) Значения, подсчитанные по ранее приведенным формулам эквивалентности, зависели от срока ссуды. В формулах (3.17) и (3.18) такая зависимость отсутствует. Эквивалентность сложной учетной ставки и номинальной сложной процентной ставки при начислении процентов m раз в году (3.19) (3.20) Пример 3.8. Определить номинальную ставку сложных процентов при их ежеквартальном начислении, эквивалентную сложной учетной ставке d = 15% годовых. Проверка: Эквивалентность непрерывных и дискретных ставок Ниже приводятся некоторые соотношения эквивалентности, которые представляют наибольшее практическое значение.
Напомним, что в предыдущей главе рассматривалось равенство множителей наращения: (1 + i) = e, откуда было получено: i = e — 1 и = ln(1 + i ). Эквивалентность силы роста () и номинальной ставки ( j ) определяется как (3.21) (3.22) При дискретном и линейном изменении силы роста, а также если она изменяется с постоянным темпом, эквивалентную зависимость со ставками сложных процентов можно выразить следующими формулами: i = e — 1; (3.23) (3.24) (3.25) Пример 3.9.
На некоторую сумму непрерывно в течение 4 лет начисляются проценты с начальной силой роста = 10%, ежегодный абсолютный прирост а = 2%.
Найти для этих же условий эквивалентную ставку сложных процентов.
Из формулы (3.24) находим множитель наращения для непрерывных процентов: Эквивалентная ставка сложных процентов: Проверка. Множитель наращения по сложной процентной ставке i = 15,027% для ссуды сроком 4 года: (1 + 0,15027) = 1,75065. Эквивалентность дисконтного множителя и силы роста непрерывных процентов (3.26) Эквивалентность силы роста и учетных ставок а) Для простой учетной ставки (3.27) (3.28) б) Для сложной учетной ставки = — ln (1 — d ); (3.29) = 1 — e . (3.30) Пример 3.10. Определить величину силы роста при начислении непрерывных процентов в течение года, эквивалентную учетной ставке простых процентов d = 15%. По формуле (3.27) Проверка. По формуле (3.28) 3.2.
СРЕДНИЕ ВЕЛИЧИНЫ В ФИНАНСОВЫХ РАСЧЕТАХ Рассматривая принцип эквивалентности процентных ставок, необходимо обратить внимание на расчет их средних значений, так как для нескольких процентных ставок их среднее значение является эквивалентной величиной. В случае если суммы полученных кредитов равны между собой, то средняя процентная ставка (проценты простые) рассчитывается по формуле средней арифметической взвешенной, где весами служат временные периоды, в течение которых действовала данная ставка: (3.31) где — средняя процентная ставка; n — период действия (временной интервал) каждой ставки. Пример 3.11. Предприятие в течение года получило два равных по величине кредита — 500 тыс. руб. каждый.
Первый кредит получен на срок 3 месяца под 10% годовых, а второй — на 9 месяцев под 16% годовых. Определим среднюю процентную ставку: Рассчитаем наращенные суммы по каждому кредиту: ; ; S = S + S = 512,5 + 560 = 1072,5 тыс. руб. Используем для расчета наращенных сумм среднюю процентную ставку — 14,5%: ; ; Таким образом, средняя ставка 14,5% является эквивалентной ранее установленным ставкам. При получении различных по величине кредитов, выданных под различные процентные ставки, средняя ставка также вычисляется по формуле средней арифметической, но весами в этом случае будут являться произведения сумм полученных кредитов на сроки, на которые они выданы: (3.32) где — средняя процентная ставка; n — период действия каждой ставки; P — величина выданного кредита.
Пример 3.12. Фирма получила два кредита. Первый — 400 тыс. руб. на 3 месяца под 10% годовых. Второй — 800 тыс. руб.
на 9 месяцев под 14% годовых. Определить среднюю процентную ставку. Как и в предыдущем примере, рассчитаем наращенные суммы по каждому кредиту: ; ; S = S + S = 410,0 + 884,0 = 1294 тыс.
руб. Используем для расчета наращенной суммы среднюю процентную ставку — 13,428%: ; ; . Расчет средней простой учетной ставки производится также по средней арифметической взвешенной: (3.33) Средняя ставка по сложным процентам определяется по формуле: (3.34) где j , i … i — ставки сложных процентов; n, n … n — временные интервалы, в течение которых начисление производилось по сложным процентам, n + n + … + n = N. Пример 3.13. Долгосрочный кредит предоставлен на 6 лет на следующих условиях: первые два года — под 5% (сложные проценты), следующие три года ставка возрастает на 2%, а в последний год — еще на 1%.
Определить среднюю ставку.
При анализе работы кредитных учреждений необходимо рассчитывать показатели среднего размера ссуды, ее средней продолжительности, среднего числа оборотов ссуд и другие показатели эффективности кредитных операций. Средний размер одной ссуды без учета количества оборотов за год находится по формуле средней арифметической взвешенной: (3.35) где — средний размер ссуды; P — размер предоставленных ссуд; n — срок ссуды в годах. Средний размер одной ссуды с учетом количества оборотов за год находится по формуле: (3.36) где P — размер j-й ссуды; n — срок j-й ссуды в годах; при сроке ссуды менее года или , где t — число дней; W — количество оборотов; D — продолжительность периода; K — число клиентов, получивших ссуду. Средний размер всех ссуд с учетом количества оборотов за год показывает средний остаток задолженности по всем ссудам за год. Он равняется среднему размеру одной ссуды с учетом оборачиваемости за год, умноженному на число клиентов, получивших ссуды: (3.37) (3.38) где — общий оборот, т.е. сумма погашенных кредитов за период (квартал, год). Откуда Средний остаток всех ссуд с учетом количества оборотов за год определяется по формуле средней хронологической моментного ряда по данным ежемесячных бухгалтерских балансов кредитного учреждения, выдавшего ссуды, по формуле: