Величина кредита (D) равна сумме всех дисконтированных аннуитетов, т.е. является современной величиной всех срочных уплат. Исходя из этого, можно записать: где Y = Y …=Y — срочные уплаты; i — ставка процентов по займу. Для удобства записи обозначим (1 + i) = r, тогда Умножим первое выражение на величину r : Вычтя из второго уравнения первое уравнение, получим: Тогда Подставив вместо r его значение, получим: (7.1) Из выражения (7.1) определим величину срочной уплаты: (7.2) Величина — коэффициент погашения задолженности. (7.3) Пример 7.1. Банк выдал долгосрочный кредит в сумме 40,0 тыс.
долл.
на 5 лет под 6% годовых. Погашение кредита должно производиться равными ежегодными выплатами в конце каждого года, включающими погашение основного долга и процентные платежи. Начисление процентов производится раз в году. Составить план погашения займа. Параметры займа: D = 40,0 тыс. долл.; n = 5 лет; i = 0,06; m = 1.
Ежегодная выплата равна: тыс. долл.
Величина процентного платежа за первый год составит: I = 40,0 0,06 = 2,400 тыс. долл. Так как Y = R + I, то выплата основного долга определится величиной: R = Y — I = 9,4960 — 2,400 = 7,0960 тыс. долл. Тогда остаток основного долга после первого года D = 40,0 — 7,0960 = 32,9040 тыс. долл. Процентный платеж во втором году I = 32,9040 0,06 = 1,9742 тыс. долл. Величина выплаты основного долга во втором году R = 9,4960 — 1,9742 = 7,5218 тыс. долл. Остаток основного долга после второго года D =32,940 — 7,5218 = 25,3822 тыс. долл.
Процентный платеж на эту сумму в третьем году I = 25,3822 0,06 = 1,5229 тыс.
долл.
Величина выплаты основного долга в третьем году R = 9,4960 — 1,5229 = 7,9731 тыс. долл. Остаток основного долга D = 25,3822 — 7,9731 = 17,4091 тыс. долл.
Процентный платеж на эту сумму I = 17,4091 0,06 = 1,0445 тыс. долл. Величина выплаты основного долга в четвертом году R = 9,4960 — 1,0445 = 8,4515 тыс. долл.
Остаток долга после четвертого года D = 17,4091 — 8,4515 = 8,9576 тыс. долл. Процентный платеж на эту сумму I = 8,9576 0,06 = 0,5375 тыс. долл. Величина выплаты основного долга R = 9,4960 — 0,5375 = 8,9585 тыс. долл. План погашения долга представим в виде табл.
7.1. Таблица 7.1 План погашения долга, тыс. долл. Годы Остаток долга D Процентный платеж I Годовой расход по погашению основного долга R Годовая срочная уплата Y 1 40,0000 2,4000 7,0960 9,4960 2 32,9040 1,9742 7,5218 9,4960 3 25,3822 1,5229 7,9731 9,4960 4 17,4091 1,0445 8,4515 9,4960 5 8,9576 0,5375 8,9585 9,4960 Итого — 7,4791 40,0000 47,4791 Приведенные методы составления плана погашения займа равными платежами не являются единственными. Рассмотрим некоторые другие. При погашении займа равными платежами остаток долга с каждой выплатой уменьшается, следовательно, уменьшаются и процентные выплаты.
В результате возрастает от периода к периоду размер платежей, идущих на погашение основного долга (см.
табл. 7.1).
Между двумя последовательными выплатами основного долга существует взаимосвязь. Для ее определения возьмем два последовательных расчетных периода — k и (k + 1). В k-м расчетном периоде годовая срочная уплата Y = D i + R , а остаток невыплаченного долга соответственно определяется как Однако для определения Dk необходимо предварительно определить R. В периоде (k+1) остаток основного долга D = D — R , следовательно, срочная уплата в этом периоде может быть записана в виде: Y = (D — R) i + R.
По условию Y = Y = … Y = Y. Отсюда D i + R = (D — R) i + R.
Решив это уравнение относительно R, получим: R + 1 = R (1 + i).
(7.4) То есть каждая выплата, произведенная в счет погашения основного долга, отличается от предыдущей на величину (1 + i ). Зная эту зависимость, можно рассчитать величину выплаты основного долга в любом расчетном периоде. Так R = R (1 + i); R = R (1 + i); R = R (1 + i); …
R = R (1 + i). (7.5) Зная размер кредита D, процентную ставку i и срок погашения кредита n, рассчитаем величину первой выплаты погашения основного долга R. Величина займа D равна сумме выплат R , т.е. D = R + R (1 + i) + R (1 + i) +…+ R (1 + i).
После некоторых преобразований данного выражения величину R можно определить по формуле: (7.6) Величина (7.7) называется ставкой погашения.
Пример 7.2.
По данным примера 7.1 рассчитать величину первого платежа для погашения основного долга. Из выражения (7.5) находим: Размер платежа основного долга в любом периоде (R) можно определить не только по формуле (7.4), но и другим способом. Известно, что первая выплата (R) определяется выражением (7.6): а величина кредита равна Подставив это значение D в формулу (7.6), получим: Так как R = R (1 +i), то, подставив в это выражение значение R, получим: R = Y (1 + i) (1 + i) = Y (1 + i) или (7.8) Используя выражение (7.8), можно рассчитать для любого периода величину процентного платежа I. Так как Y = I + R , то I = Y — R . Подставим в это выражение значение R , тогда (7.9) Пример 7.3. По данным примера 7.1 рассчитать величину процентного платежа на конец последнего года погашения займа. тыс. долл.
Для расчета остатка невыплаченного основного долга на любой k-й период воспользуемся выражением: Подставив в это выражение значения Y и R, получим: (7.10) Пример 7.3а.
По данным примера 7.1 рассчитать остаток основного невыплаченного долга на начало 3-го года погашения. тыс. долл. Используя приведенные выше формулы, составим план погашения долга при изменяющихся процентных ставках. Пример 7.4. Получен кредит в сумме D = 10,0 млн руб.
сроком на 7 лет. Процентная ставка изменяется по годам в следующем порядке. Годы 1-2 3-4 5-7 Процентная ставка 7,0 10 16 Погашение основного долга и проценты выплачиваются в конце года. 1-й год млн руб. R = Y — I = 1,8555 — 10,0 0,07 = 1,1555 млн руб. 2-й год Остаток долга на начало 2-го года: D = 10 — 1,1555 = 8,8445 млн руб. млн руб. R = 1,8555 — 8,8445 0,07 = 1,8555 — 0,6191 = 1,2364 млн руб.
3-й год D = 8,8445 — 1,2364 = 7,6081 млн руб. млн руб. R = 2,0070 — 7,6081 0,1 = 1,2462 млн руб. 4-й год D = 7,6081 — 1,2462 = 6,3619 млн руб.
млн руб. R = 2,0070 — 6,3619 0,1 = 1,3708 млн руб. 5-й год D = 6,3619 — 1,3708 = 4,9911 млн руб. млн руб. R = 2,2223 — 4,9911 0,16 = 1,4237 млн руб.
6-й год D = 4,9911 — 1,4237 = 3,5674 млн руб.
млн руб. R = 2,2223 — 3,5674 0,16 = 1,6516 млн руб. 7-й год D = 3,5674 — 1,6516 = 1,9158 млн руб.
млн руб.