Y = D g + R, (7.19) где Y — срочная уплата в период t; D — величина долга. При начислении на величину долга сложных процентов срочная уплата рассчитывается по формуле: (7.20) где I — процентный платеж, исчисленный по сложным процентам. Величину I для расчетного периода t вычисляют по формуле: I = D (1 + g) g, (7.21) где t = 1, 2, 3… n; g — процентная ставка, начисляемая на основной долг. Подставив значение I в (7.19), получим: (7.22) Так как формирование фонда рассчитано на N лет, то вносимые платежи образуют ренту с параметрами: R, N, i. Сумма данной ренты должна быть равна величине основного долга, в силу чего можно записать: откуда Подставив значение R в (7.19), получим: — (7.23) — значение срочной уплаты при начислении на основной долг простых процентов. Величина срочной уплаты при начислении на основной долг сложных процентов: (7.24) В случаях когда кредитный контракт предусматривает не периодические выплаты процентов на основной долг, а их присоединение к сумме основного долга, срочная уплата определяется как (7.25) где n — общий срок займа; n = N + L; L — продолжительность льготного периода. Для расчета накопленных за t лет сумм погасительного фонда используется формула наращенных сумм постоянных рент: S + 1 = S (1 + i) + R. (7.26) Пример 7.11. Фирма получила кредит 5,0 млн руб. на 4 года под 8% сложных годовых в банке А. Кредитный контракт предусматривает погашение долга разовым платежом. Одновременно с получением кредита фирма начала создавать погасительный фонд, для чего открыла счет в банке Б. На размещенные средства банк Б начисляет 10% годовых. Определить ежегодные расходы фирмы по амортизации долга при условии, что в погасительный фонд вносятся ежегодно равные суммы. Параметры финансовой операции: D = 5,0; g = 8%; i = 10%; n = N = 4; S = 4,6410. млн руб. — взнос в погасительный фонд. Выплату процентных платежей рассчитаем по (7.21): I = 5,0 (1 + 0,08) 0,08 = 0,4 млн руб. I = 5,0 1,08 0,08 = 0,432 млн руб. I = 5,0 1,08 0,08 = 0,4665 млн руб. I = 5,0 1,08 0,08 = 0,5038 млн руб. Накопления на конец года в погасительном фонде — S рассчитаем по (7.26): S = R = 1,07735 млн руб. S = 1,07735 1,1 + 1,07735 = 2,26244 млн руб. S = 2,26244 1,1 + 1,07735 = 3,56603 млн руб. S = 3,56603 1,1 + 1,07735 = 4,99998 5,0 млн руб. План погашения кредита представим в табл. 7.7. Таблица 7.7 План погашения кредита, млн руб. Год Выплата процентных платежей I Взносы в погасительный фонд R Накопления на конец года в погасительном фонде S Расходы по амортизации займа (срочные уплаты) Y 1 0,4000 1,07735 1,07735 1,47735 2 0,4320 1,07735 2,26244 1,50935 3 0,4665 1,07735 3,56603 1,54385 4 0,5038 1,07735 4,99998 1,58115 Итого 1,8023 4,3094 — 6,1117 В рассмотренном примере фирма-заемщик сумела с выгодой для себя реализовать кредитную операцию, так как она на взносы в погасительный фонд получила проценты более высокие, чем платила по займу (i > g). В результате общая сумма расходов по погашению долга составила 6,1117 млн руб., что значительно меньше, чем если бы фирма погасила долг разовым платежом. Экономия составит: D = 50 1,08 — 6,1117 = 6,80244 — 6,1117 = 0,69074 млн руб. Создание погасительного фонда выгодно даже в том случае, если i < g. Пример 7.12. Предположим, что процентная ставка на взносы в погасительный фонд i = 6%. Остальные параметры финансовой операции такие же, как в примере 7.10.
Тогда млн руб. План погашения долга представим в табл. 7.8.
Таблица 7.8 План погашения долга, млн руб. Год Выплата процентных платежей I Взносы в погасительный фонд R Накопления на конец года в погасительном фонде S Расходы по амортизации займа (срочные уплаты) Y 1 0,4000 1,14296 1,14296 1,54296 2 0,4320 1,14296 2,35450 1,57496 3 0,4665 1,14296 3,63873 1,60946 4 0,5038 1,14296 5,00000 1,64676 Итого 1,8023 4,57184 — 6,37414 D = 5,0 1,08 — 6,37414 = 0,4283048 млн руб. Пример 7.13. Внесем изменения в условия примера 7.11. Кредит выдан под простые проценты. В первый год после получения кредита выплачивались только проценты по нему, а погасительный фонд начал создаваться через год. Составить план погашения кредита. Взнос в погасительный фонд равен: млн руб. Накопленная сумма в погасительном фонде в первый год его создания (второй год после получения кредита) S = 1,51057 млн руб.; во второй год — S = 1,51057 1,1 + 1,51057 = 3,17220 млн руб.; в третий год — S = 3,17220 1,1 + 1,51057 = 5,0 млн руб.
План формирования погасительного фонда и погашения кредита представим в табл. 7.9. Таблица 7.9 План погашения кредита, млн руб. Год Выплата процентных платежей I Взносы в погасительный фонд R Накопления на конец года в погасительном фонде S Расходы по амортизации займа (срочные уплаты) Y 1 0,4 — — 0,400 2 0,4 1,51057 1,51057 1,91057 3 0,4 1,51057 3,17220 1,91057 4 0,4 1,51057 5,0 1,91057 Итого 1,6 4,53171 — 6,13171 Создание погасительных фондов при неравных взносах Наряду с погасительными фондами, созданными на основе постоянных взносов, возможно формирование погасительных фондов с неравными взносами, которые изменяются как члены арифметической или геометрической прогрессии. Предположим, что взносы в погасительный фонд представляют собой ренту, члены которой изменяются по арифметической прогрессии с разностью d и первым членом R.
Наращенная сумма такой ренты равна: Так как наращенная сумма этой прогрессии будет равна величине долга D, то, заменив символ S на D и решив это уравнение относительно R, получим: (7.27) или (7.28) где (7.27) — первый член возрастающей, а (7.28) — убывающей прогрессии. Если на основной долг начисляются простые проценты, то срочные уплаты определяются как сумма Y = D g + R, (7.29) где D — сумма долга; g — процентная ставка, начисляемая на сумму долга; R = R + d (t — 1); t = 1, 2,… n. Пример 7.14.
Фирма получила кредит в сумме 60 тыс. долл. сроком на 4 года под 6,0% годовых (простые проценты). Для погашения долга решено создать фонд, взносы в который должны поступать в конце каждого года, причем каждый взнос должен возрастать на 0,5 тыс.
долл. На взносы погасительного фонда начисляются сложные проценты по ставке 7% годовых. Составить план погашения долга.
Параметры финансовой операции: D = 60,0; n = 4; g = 6%; i = 7,0%; d = 0,5; = 4,4399.
тыс. долл. R = 12,8060 + 0,5 = 13,3060 тыс. долл.
R = 13,3060 + 0,5 = 13,8060 тыс. долл. R = 13,8060 + 0,5 = 14,3060 тыс.
долл. S = R = 12,8060 тыс. долл.
S = 12,8060 1,07 + 13,3060 = 27,0084 тыс. долл.
S = 27,0084 1,07 + 13,8060 = 42,7050 тыс. долл. S = 42,7050 1,07 + 14,3060 = 60,00 тыс. долл. Представим план погашения долга в табл. 7.10. Таблица 7.10 План погашения долга, тыс.
долл. Годы Выплата процентов D Взносы в погасительный фонд R Накопление взносов в погасительном фонде S Расходы по займу Y 1 3,6 12,8060 12,8060 16,4060 2 3,6 13,3060 27,0084 16,9060 3 3,6 13,8060 42,7050 17,4060 4 3,6 14,3060 60,0000 17,9060 Итого 14,4 54,2240 — 68,6240 Если взносы в погасительный фонд изменяются в геометрической прогрессии, то для расчета величины первого взноса воспользуемся формулой наращенной суммы ренты с постоянным относительным изменением платежей: где R — первый член ренты; q — знаменатель прогрессии.
Так как сумма этой ренты равна величине долга, т.е. S = D, то (7.30) Пример 7.15. Долг, выданный на 5 лет под 8% годовых (сложные проценты), равен 80,0 тыс.
долл. Платежи в погасительный фонд должны возрастать на 10% ежегодно.
На взносы в погасительный фонд начисляются сложные проценты по ставке 9% годовых. Составить план погашения долга.
Параметры финансовой операции: D = 80,0; q = 1,1; i = 0,09; g = 0,08; n = 5. Определим величину взносов в погасительный фонд: тыс. долл. R = 11,1287 1,1 = 12,2416 тыс.
долл. R = 12,2416 1,1 = 13,4657 тыс. долл. R = 13,4657 1,1 = 14,8123 тыс. долл. R = 14,8123 1,1 = 16,2935 тыс. долл. Определим накопление взносов в погасительном фонде в конце каждого года: S = R = 11,1287 тыс. долл. S = 11,1287 1,09 + 12,2416 = 24,3719 тыс. долл. S = 24,3719 1,09 + 13,4657 = 40,0311 тыс. долл. S = 40,0311 1,09 + 14,8123 = 58,4461 тыс. долл.
S = 58,4461 1,09 + 16,2935 = 79,9998 тыс. долл. Рассчитаем величину процентных платежей на основной долг в каждом году: I = 80 0,08 = 6,4 тыс.
долл. I = 80 1,08 0,08 = 6,9120 тыс.
долл. I = 80 1,082 0,08 = 7,4650 тыс. долл. I = 80 1,083 0,08 = 8,0622 тыс. долл. I = 80 1,084 0,08 = 8,7071 тыс. долл.
План погашения долга представим в табл. 7.11. Таблица 7.11 План погашения долга, тыс.
долл. Год Выплата процентов на основной долг I Взносы в погасительный фонд R Накопления на конец года в погасительном фонде S Расходы по займу Y 1 6,4000 11,1287 11,1287 17,5287 2 6,9120 12,2416 24,3719 19,1536 3 7,4650 13,4657 40,0311 20,9307 4 8,0622 14,8123 58,4461 22,8745 5 8,7071 16,2935 79,9998 25,0006 Итого 37,5463 67,9418 — 105,4881 7.8.
ЛЬГОТНЫЕ КРЕДИТЫ Мировая финансовая практика знает немало примеров, когда долгосрочные кредиты выдаются на льготных условиях. Это может быть вызвано политическими или какими-либо другими соображениями. Одной из наиболее существенных льгот является предоставление кредита по ставке, значительно ниже общепринятой на данный момент. В результате предоставления подобной льготы заемщик фактически получает субсидию. Кредитор же теряет определенную сумму в результате этой сделки. Эта добровольно упущенная выгода кредитора, вызванная применением более низкой процентной ставки, чем принятая в данный момент на рынке капиталов, называется грант-элементом.
Грант-элемент может быть подсчитан в виде абсолютной или относительной величины. Рассмотрим метод расчета абсолютного грант-элемента при предоставлении льготного кредита с условием его погашения равными срочными уплатами. Введем следующие обозначения: D — сумма предоставленного кредита; n — срок кредита; g — льготная процентная ставка, по которой предоставлен кредит; i — общепринятая процентная ставка (i > g); Y — величина срочной уплаты при использовании общепри- нятой процентной ставки; Y’ — величина срочной уплаты по льготной ставке; W — величина абсолютного грант-элемента.