кой 6% годовых. Определить величину нового платежа. Решение Найдем сначала общую современную величину двух аннуите- тов. По формуле (7.5) имеем Далее по формуле (7.7) находим величину нового платежа: Нам остается теперь рассмотреть важное практическое прило- жение теории аннуитетов – составление различных вариантов (планов) погашения задолженности. При составлении плана по- гашения интерес представляют размеры периодических платежей заемщика – выплаты процентов и выплаты по погашению ос- новной суммы долга – при различных условиях погашения (та- кие платежи носят название срочных уплат). Основных вариантов погашения задолженности – пять: 1. Займы без обязательного погашения, по которым постоянно выплачиваются проценты.
Задача в данном случае заключается в нахождении размера выплачиваемой суммы P при заданной про- центной ставке /. Мы имеем здесь случай вечного аннуитета. Раз- мер платежа определяется по формуле (7.15), из которой получаем 2.
Погашение долга в один срок Если заемщик должен вернуть всю сумму долга в конце срока, целесообразным бывает создание погасительного (амортизацион- ного) фонда, для чего периодически вносятся определенные сум- мы, на которые начисляются проценты. Если процентная ставка, под которую вносятся средства, не превышает размеров ставки, под ко- торую выдается заем, создание погасительного фонда не имеет смысла. Выгоднее сразу расплачиваться этими сум- мами с кредитором. Введем обозначения: – основная сумма долга (без процентов); – ставка процента по займу; – процент по займу; – размер взноса в погасительный фонд; – ставка, по которой начисляются проценты на взносы в фонд; – величина срочной уплаты; – срок займа.
Найдем величину срочной уплаты У и ее составляющих (Y = = /+/). По определению / = D ic .
Сумма, накопленная в погасительном фонде за п лет, т. е. нара- щенная сумма аннуитета с параметрами % п, g, должна составить величину R По формуле (7.2) получаем Отсюда 127 Значит, в данном случае величина срочной уплаты определяет- ся формулой: (7.23) Если проценты не выплачиваются, а присоединяются к основ- ной сумме долга, то срочная уплата будет состоять только из взносов в погасительный фонд.
Общая сумма долга составит по формуле (3.1) величину откудаполучаем 3. Погашение долга равными суммами Пусть долг погашается в течение п лет равными суммами, а про- центы периодически выплачиваются. Тогда на погашение посто- янно идут платежи размером D/n, а процентные выплаты ежегод- но сокращаются, так как уменьшается основная сумма долга.
Обозначим – сумма долга после к-го года: – процентная выплата за к-й год. Тогда На конец второго года получаем Для определения размера срочной уплаты и процентного пла- тежа после к-го года получаем На конец срока, т. е. л-го года имеем Видно, что самые большие суммы приходится платить в начале периода погашения, что может в большинстве случаев расцени- ваться как недостаток этого метода погашения задолженности. 4. Погашение долга с использованием постоянных срочных уплат Пусть займ величиной Д выданный под сложную годовую про- центную ставкупогашается в течение п лет равными срочными уплатами Y= I + P. Понятно, что со временем составляющая / (проценты по займу) будет уменьшаться, так как уменьшается ос- 128 новная сумма задолженности. Соответственно, составляющая P (сумма, идущая на погашение займа) будет увеличиваться. Выведем формулы для расчета суммы процентных денег и сум- мы на погашение долга на конец к-то года. Периодическая выплата постоянной суммы Y при заданной процентной ставке ic в течение п лет является аннуитетом с соот- ветствующими параметрами. Поэтому величина срочной уплаты определяется по формуле (7.9): – коэффициент приведения ренты). Обозначив через Рк сумму, идущую на погашение займа в кон- це к-го года, запишем следующие соотношения: Подставляя выражения 3) и 4) в соотношение 2), получим Перепишем выражение 1), используя последнее равенство: откуда получаем Так как Следовательно, Отсюда Далееполучаем Когда займ погашается постоянными срочными уплатами, их величина может быть заранее задана, и тогда возникает задача оп- ределения периода погашения долга п. Вопрос определения срока аннуитета рассматривался ранее в связи с конверсией аннуите- тов. При этом для выполнения принципа эквивалентности необ- 129 ходимо было доплатить недостающую сумму (возникающую в ре- зультате округления полученного л) в начале периода погашения.
Вместо этого возможно также небольшое изменение размера срочных уплат.
Рассмотрим для прояснения ситуации пример. Пример 30 Займ в размере 12 000 ам. долл. выдан под сложную процент- ную ставку 4% годовых. Определить продолжительность периода погашения, если заемщик собирается выплачивать ежегодно по 1 500 ам. долл.
Составить график погашения долга. Решение Рассчитаем сначала коэффициент приведения аннуитета я4 п : 12 000 ам. долл./1 500 ам. долл.
= 8. По таблице определим приблизительно п, соответствующее данному коэффициенту и процентной ставке 4%. Так как п = 10 соответствует коэффициент а4 10 = 8,11, возьмем п = 9 и рассчи- таем для этого срока и современной величины А = 12 000 ам. долл.
новое значение платежа P. Используем для этого формулу (7.8), находя значение коэффициента приведения по таблице 4 Приложения 2.
12 000 ам. долл./7,435 = 1 614 ам. долл. Составим теперь график погашения долга, в который должны входить процентные выплаты, расходы по погашению долга, ос- таток долга на конец каждого года. Используя выведенные ранее формулы, находим искомые зна- чения: Год Сумма долга на конец года Срочная уплата (Y) Проценты (I) Выплата на погашение (P) 1 10 866,0 1613,99 480,0 1133,98 2 9 686,67 1613,99 434,64 1179,35 3 8 460,2 1613,99 387,47 1226,5 4 7 184,6 1613,99 338,4 1275,58 5 5 858,0 1613,99 287,4 1326,6 6 4 478,32 1613,99 234,32 1379,67 7 3 043,5 1613,99 179,13 1434,86 8 1 551,23 1613,99 121,73 1492,25 1 9 0 1613,99 62,04 1551,9 130 Небольшое расхождение в остатке долга на конец 8-го года и сумме последней выплаты на погашение происходит из-за округ- ления некоторых значений предыдущих сумм. 5. Погашение долга с использованием переменных срочных уплат Во многих случаях предпочтительнее оказывается погашение долга с использованием переменных срочных уплат. Срочные уп- латы могут изменяться в соответствии с некоторой закономерно- стью или задаваться графиком погашения. Рассмотрим случай, когда последовательность срочных уплат представляет собой арифметическую профессию с заданной раз- ницей А. При сроке погашения п и процентной ставке ic , исполь- зуя формулу(7.20), находим величину срочной уплаты P: исходя из которой разрабатывается план погашения долга. 6. На практике часто встречается случай, когда заранее задают- ся размеры всех срочных уплат, кроме последней, определяемой величиной остатка долга на начало последнего периода (см. при- мер 31).
Пример 31 Долг в размере 10 000 ам. долл. требуется погасить за пять лет, размеры срочных уплат в первые четыре года – 2 000 ам. долл., 2 000 ам.
долл., 4 000 ам. долл., 1 500 ам. долл. Найти величину последней уплаты, если процентная ставка составляет 5% годо- вых. Решение , Разработаем план погашения долга. | Год Сумма долга на конец года Срочная уплата (Y) Проценты (D Выплата на погашение (P) 1 8 500,0 2 000,0 500,0 1 500,0 2 6 925,0 2 000,0 425,0 1 575,0 3 3 271,25 4 000,0 346,25 3 653,75 4 1 934,81 1 500,0 163,56 1 336,44 1 5 0 2 031,55 96,74 1 934,81 1 Проценты за первый год составляют Отсюда ш Для последующих лет получаем Итак, величина последней уплаты должна составить 2 031,55 ам. долл.
2.8. Дивиденды и проценты по ценным бумагам.
Доходность операций с ценными бумагами Вложения денежного капитала в различного вида ценные бу- маги (долевое участие в предприятиях, займы другим предпри- ятиям под векселя или иные долговые обязательства) – важней- ший элемент развивающейся рыночной экономики.
Цель финан- совых вложений – получение дохода и/или сохранение капитала от обесценения в условиях инфляции. Следовательно, необходи- мо уметь правильно оценивать реальный доход по разного вида ценным бумагам. Рассмотрим сначала виды существующих в на- стоящее время ценных бумаг и определим разницу в начислении процентов и возможностях получения дохода по ним. В зависимости от формы предоставления капитала и способа выплаты дохода ценные бумаги делятся на долговые и долевые.
Долговые ценные бумаги (купонные облигации, сертификаты, векселя) обычно имеют фиксированную процентную ставку и являются обязательством выплатить полную сумму долга с про- центами на определенную дату в будущем; по дисконтным обли- гациям доход представляет собой скидку с номинала. Долевые ценные бумаги (акции) представляют собой непосред- ственную долю держателя в реальной собственности и обеспечи- вают получение дивиденда в неограниченное время. 132 Все прочие виды ценных бумаг являются производными от долговых либо долевых ценных бумаг и закрепляют право вла- дельца на покупку или продажу акций и долговых обязательств.
Это опционы, фьючерсные контракты и др. Расчет дохода по различным видам ценных бумаг производится на основе полученных в предыдущих параграфах формул.
Приве- дем несколько примеров.
Пример 32 Депозитный сертификат номиналом 200 000 руб. выдан 14 мая с погашением 8 декабря под 18% годовых. Определить сумму до- хода при начислении точных и обыкновенных процентов и сумму погашения долгового обязательства. Решение Находим сначала точное (17 дней мая + 30 дней июня + 31 день июля + 31 день августа + 30 дней сентября + 31 день октяб- ря ++ 30 дней ноября + 8 дней декабря = 208 дней) и прибли- женное (17 дней мая + 30-6 + 8 дней декабря = 205 дней) число дней займа. Для точных процентов из формул (1.2) и (1.3) получаем /=0,18-200 000 • 208/365=20 515 (руб.). По формуле (1.4) вычисляем сумму погашения обязательства: S = 200 000 + 20 515 = 220 515 (руб.). Для случая обыкновенных процентов возможно несколько способов расчета: a)d=208, K = 360. Тогда / = 0,18 • 200 000 • 208/360 = 20 800 (руб.); S = 200 000 + 20 800 = 220 800 (руб.). б) а = 205, K = 365. Тогда / = 0,18 200 000 – 205/365 = 20 219 (руб.); S = 200 000 + 20 219 = 220 219 (руб.). в) а = 205, K= 360. Тогда /= 0,18 200 000 • 205/360 = 20 500 (руб.); S = 200 000 + 20 500 = 220 500 (руб.). Пример 33 Платежное обязательство выдано н^ три месяца под 25% годо- вых с погашением по 20 000 000 руб. (год високосный). Опреде- лить доход владельца данного платежного обязательства. 133 Решение Сначала по формуле дисконтирования (1.9) определим теку- щую стоимость платежного обязательства: P = 20 000 000 /(I + 0,25 /4) = 18 823 529 (руб.).
Доход владельца определяется из формулы (1.4): / = 20 000 000 – 18 823 529 = 1 176 471 (руб.). Пример 34 Сертификат номинальной стоимостью 28 000 000 руб. выдан на 200 дней (год високосный) с погашением по 30 000 000 руб. Опре- делить доходность сертификата в виде простой ставки ссудного процента.
Решение Для определения процентной ставки используем формулу (1.13): I =[(30 000 000 – 28 000 000)/28 000 000] 366/200 = 0,13 = 13%. При покупке (учете) векселей и других денежных обязательств до наступления срока платежа используются учетные ставки. То- гда доход, начисленный по учетной ставке (дисконт), становится доходом лица, купившего вексель, когда наступает срок оплаты. Владелец векселя получает указанную в нем сумму за вычетом дисконта, но зато раньше срока. Пример 35 Вексель выдан на сумму 10 000 000 руб.
со сроком оплаты 21 июля.
Владелец векселя учел его в банке 5 июля по учетной ставке 20%. Определить доход банка и сумму, полученную по век- селю (K= 365). Решение Срок от даты учета до даты погашения составляет 21 – 5 = 16 дней. По формуле (2.3) получаем D = 0,2 • 10 000 000 • 16/365 = 87 671 (руб.). Соответственно, по формуле (2.4), сумма, полученная по век- селю: P = 10 000 000 – 87 671 = 9 912 329 (руб.).
При операциях с облигациями источником дохода являются фиксированные проценты (в случае купонных облигаций), а так- же разность между ценой, по которой облигация приобретается, и ценой, по которой она выкупается.
Выкупная цена облигации обычно совпадает с ее номиналом. 134 Существуют облигации без выплаты процентов (дисконтные облигации), инвестирование средств в которые будет доходным только при покупке их со скидкой с номинала, т. е. с дисконтом. Введем обозначения: – номинальная стоимость облигации;